struttura algebrica

Definizione

Struttura Algebrica

Una struttura algebrica è un insieme non vuoto $S$ dotato di una o più operazioni (funzioni) che combinano elementi di $S$ per produrre altri elementi di $S$. Formalmente, un’operazione $n$-aria su $S$ è una funzione $f:S^n\to S$. Le operazioni possono essere soggette a specifici assiomi o proprietà.

Notazione: Spesso una struttura algebrica viene indicata come una tupla: $(S,{\ast }_1,{\ast }_2,...,{\ast }_n)$, dove $S$ è l’insieme e ${\ast }_1,{\ast }_2,...,{\ast }_n$ sono le operazioni definite su $S$.

• Gruppo: $(G,\ast )$ dove $\ast$ è un’operazione binaria associativa, con elemento neutro e inverso per ogni elemento.
• Anello: $(R,+,\cdot )$ dove $(R,+)$ è un gruppo abeliano, $\cdot$ è un’operazione binaria associativa e valgono le proprietà distributive.
• Campo: $(K,+,\cdot )$ dove $(K,+,\cdot )$ è un anello e $(K\setminus \{0\},\cdot )$ è un gruppo abeliano.
• Spazio vettoriale: $(V,+,\cdot )$ dove $(V,+)$ è un gruppo abeliano e $\cdot$ è un’operazione che combina uno scalare da un campo $K$ con un vettore di $V$ per produrre un altro vettore di $V$, soddisfacendo specifici assiomi.

Classificazione:

Le strutture algebriche possono essere classificate in base al tipo e al numero di operazioni, nonché agli assiomi che le governano. Alcune classi importanti includono:

• Strutture algebriche con una sola operazione: gruppi, monoidi, semigruppi.
• Strutture algebriche con due operazioni: anelli, campi, corpi.
• Strutture algebriche con operazioni esterne: spazi vettoriali, moduli.

gruppo e gruppo abeliano
monoide
semigruppo

anello
campo

spazio vettoriale
modulo

Risorse