spazio vettoriale

Definizione

Uno spazio vettoriale su un campo $K$ è una struttura algebrica $(V,+,\cdot )$ dove $V$ è un insieme non vuoto (i cui elementi sono chiamati vettori) e $+,\cdot$ sono due operazioni:

• Addizione: $+:V\times V\to V$, che associa a due vettori $v,w\in V$ la loro somma $v+w\in V$.
• Moltiplicazione scalare: $\cdot :K\times V\to V$, che associa ad uno scalare $\alpha \in K$ e ad un vettore $v\in V$ il prodotto $\alpha \cdot v\in V$.

Queste operazioni devono soddisfare i seguenti assiomi:

• $(V,+)$ è un gruppo abeliano.
• $\forall \alpha ,\beta \in K$ e $\forall v,w\in V$:
  • $\alpha \cdot (v+w)=\alpha \cdot v+\alpha \cdot w$
  • $(\alpha +\beta )\cdot v=\alpha \cdot v+\beta \cdot v$
  • $(\alpha \beta )\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v)$
  • $1\cdot v=v$, dove $1$ è l’unità del campo $K$.

Definizione (Gallet)

Uno spazio vettoriale è un insieme $V$
con due operazioni:

$+:V\times V\to V$
$(\mu ,v)\mapsto \mu +v$

$\cdot :\mathbb{R}\times V\to V$
$(\mu ,V)\mapsto \mu \cdot V$

tali per cui per ogni $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ e per ogni $u,v,w\in V$ siano soddisfatte le proprietà:

• $V1$. proprietà associativa
• $V2$. proprietà commutativa
• $V3$. esistenza del vettore nullo
• $V4$. esistenza del vettore opposto
• $V5$. proprietà distributiva di $+$ rispetto a $\mathbb{R}$
• $V6$. proprietà distributiva di $\cdot$ rispetto a $\mathbb{R}$
• $V7$. $(\lambda \mu )\cdot \vec{V}=\lambda (\mu \cdot \vec{V})$
• $V8$. $1\cdot v=v$

Un $\mathbb{R}$-spazio vettoriale si dice anche uno spazio vettoriale di $\mathbb{R}$.
Sia $V$ in un $\mathbb{R}$-spazio vettoriale; gli elementi di $V$ si dicono vettori.

sottospazio vettoriale
vettore libero

Risorse